Interés Compuesto

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Si en el interés simple se conviene que periódicamente los intereses se incorporen al capital para devengar, nos hallamos frente a la convención llamada de interés compuesto.

Un capital ha sido colocado a interés compuesto anual, semestral, trimestral, etc., cuando el interés producido al final de cada periodo (periodo de capitalización) se suma al capital anterior para producir nuevos intereses en el periodo siguiente.

Se emplea en préstamos a largo plazo, donde los intereses totales ganados se cobran al vencimiento del contrato, en el cual se acordó que los intereses se acrediten periódicamente, por ejemplo, por trimestre vencido.

Determinación del la fórmula del Interés Compuesto

El capital original, más los intereses generados y no cobrados conforman un nuevo capital, sobre cuya base se calculan nuevos intereses.

El período a cabo del cual los intereses se incorporan al capital, recibe el nombre de período de capitalización. Se acepta que estos períodos deben ser iguales.

El capital 0, colocado a interés compuesto a la tasa periódica i, durante n periodos.

Tabla de Interés Compuesto

PeríodoCapital InicialInterés del periodoMonto al cabo del período
1CoCo iCo + Co i = Co (1+i)
2Co (1+i)Co (1+i)iCo (1+i) + Co (1+i)i = Co (1+i)(1+i)= Co (1 + i)2
3Co (1 + i)2Co (1 + i)2iCo (1 + i)2+ Co (1 + i)2i= Co (1 + i)3
….……. .            …. ………   .  …………………………
….……… ……………………………………..
nCo (1 + i)n-1Co (1 + i)n-1iCo (1 + i)n-1+ Co (1 + i)n-1.i= Co (1 + i)n-1(1+i)=  Co (1+i)n
Determinación de la Formula del Interés Compuesto

Podemos aceptar por inducción completa que:

Formula General para el Interés Compuesto

Determinación de la fórmula del Interés compuesto
Determinación del Interés Compuesto

M = C (1+i)n

Donde M es el Monto Final,

C el capital inicial

i la tasa de interés y

n el tiempo

Formulas derivadas

El Capital inicial se obtiene a partir de la formula general:

C =       M  / (1+i)n

Si deseo determinar el periodo de tiempo n, partiendo de la formula general:

log M = log C + n log (1+i)

n log (1+i) = log M – log C

n=  (log M – Log C)/    log (1+i)

Y la fórmula del interés en función del capital inicial:

  • I =  M  – C
  • I = C (1+i)n – C
  • I = C  [(1+i)n  -1]

Veamos la explicación de la determinación de la Formula

Te invito a ver el siguiente video de Youtube:

Capitalización sub periódica

Cuando la capitalización se realiza en períodos inferiores al año, decimos que existe una capitalización sub-periódica.

Generalizando, la capitalización sub-periódica, se produce cada vez que el período de la tasa es mayor que el de la capitalización.

La cuestión se resuelve con la tasa proporcional, que es la que resulta de dividir la tasa periódica i, por el nro. de sub-períodos que tiene el año: m.

A la tasa periódica i, corresponde la proporcional i/m. Para el 8% anual, hallamos la semestral y la trimestral de la siguiente manera:

Para el año:

 i= 0.08

Para el semestre: i/m= 0.08/2= 0.04

Para el trimestre: i/m=0.08/4=0.02

El nro. de sub períodos de capitalización, siendo n el nro. total de años, resultará: n.m, por lo tanto, la fórmula del monto a aplicar, resulta:

M = C ( 1 + i/m)n.m

El monto obtenido con esta fórmula, para el mismo capital, el mismo tiempo y la misma tasa enunciada, resulta superior al que se obtiene con capitalización periódica.

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